ganti-oli-bloger

Pertemuan 22 : Turunan Berarah

Diposting pada

Definisi turunan berarah

Dan hubungan antara turunan berarah dengan gradien adalah

Contoh 1 :
Carilah turunan berarah dari fungsi

di titik (2,-1), dalam arah vektor a =4i + 3j

Jawab :

Contoh 2 :
Tentukan turunan berarah dari fungsi ini

Jawab :

Perubahan Nilai Maksimum

Suatu fungsi , saat di titik p dapat diketahui pada arah mana perubahan nilainya maksimum dan minimum, dengan menggunakan turunan berarah di p :


Jadi pertambahannya akan maksimum jika θ berniali 0 dan akan bernilai minimum jika bernilai π (180 derajad). Sehingga

max rate of change formula

Contoh 3 :
Seekor serangga berada di permuakaan hiperbolik paraboloid
exp 3 prob
di titik (1,1,0). Pada arah mana yang paling terjal serangga tersebut harus memanjat, dan berapa kemiringannya ?

Jawab :
exp 3 solv
exp 3 solv fig

 

Kurva Ketinggian (Level Curve) dan Gradien

Kurva ketinggian diperoleh ketika fungsi permukaan z = f (x,y) dipotong oleh bidang datar z = k. Dan jika sutu vektor satuan u merupakan vektor tangen si suatu titil di kurva ketinggian L maka turuna berarah pada arah vektor u adalah nol. Karena vektor gradien tegak lurus terhadap vektor tangen

gradien vs tanget

Perhatikan hubungan antara vektor gradien dengan vektor tangen dalam gambar ini

gradien vs tangent graph

Contoh 4 :
Pada paraboloida ini
exp 4 prob
Tentukan persamaan kurva ketinggian yang melalui titik P (2,1) dan tentukan vektor tangen di titik tersebut.

Jawab :
Pada saat x=2 dan y=1, maka z=2²/4 + 1² = 2, sehingga z = k = 2. Dan persamaan kurva ketinggiannya adalah :

exp 4 solv

Berikut ini hubungan antara bentuk permukaan, kurva ketinggain dan gradiennya

kontur vs gradien

Perbandingan grafik dan gradien untuk fungsi 2 variabel dan  fungsi 3 variabel.

fungsi 3var

Contoh 5 :
Jika suhu bersifat homogen pada sebuah benda dengan persamaan
exp 5 prob
Tentukan pada arah mana penuruan suhu yang paling besar di titik (1,-1,2) !

Jawab :
exp 5 solv

 

Latihan
latihan

 

Pertemuan sebelumnya                                                Pertemuan selanjutnya