Pertemuan 21 : Keterdiferensiasian

Mei 6, 2020 motogokil Motorcycle 38

differentiability

Keterdiferensiasian adalah suatu sifat dari sebuah fungsi yaitu bisa diturunkan (ada f ‘ nya), yang mana pada selang tertentu tidak memiliki garis tangen vertikal. Fungsi yang digambarkan pada gambar di atas adalah

differentiability func

Terlihat bahwa fungsi tersebut pada saat f (0,0) kontinu, akan tetapi pada titik tersebut tidak memiliki bidang tangen (suatu bidang dimana berkumpul garis tangen dalam jumlah tak terhingga). Jadi fungsi di atas adalah salah satu fungsi yang tidak dapat diturunkan.

Jika sebuah fungsi f dapat diturunkan di a, maka pada titik (a, f (a)) akan dilalui garis tangen yang nilainya sama dengan nilai fungsi tersebut pada suatu titik di “dekat a”.

Maksud kata di “dekat a” dijelaskan dalam gambar berikut.

eh0

Hubungan suatu nilai pada garis tangen dan nilai pada fungsi dinyatakan sebagai

fah

Maka dikatakan bahwa f bersifat linier secara lokal di a.

eh0 limit

Persamaan di atas menunjukkan bahwa f ‘ (a) ada yaitu “m”.

Dan hal seperti ini juga bisa dilakukan untuk fungsi dengan 2 varibel, dengan memperhatikan kemiringan garis tangen pada arah x dan arah y. Jadi suatu fungsi permuakaan f (x,y) yang dapat diturun pada suatu titip P (a,b), maka pada selang yang kecil akan tampak sebagai bidang datar.

e1h1 e2h2 fig

Jadi sesuai dengan gambar, fungsi dua variabel f (x,y) dapat diturunka di titik P (a,b), jika ia bersifat linier lokal di P. Dengan kata lain fungsi ini jika dapat diturunkan di pasang terbuka R (open set R), maka ia harus bisa diturunkan pada setiap titik di R.

fahxy

Dari persamaan di atas kita berkenalan dengan operator “gradien” ∇ (del). Bekerja dalam vektor karena komponen-x dan y akan membentuk vektor arah limit, dari mana didekati.

gradient

dan ε(h) –› 0 saat h–› 0. Jadi karena pada selang set-R yang kecil h–› 0,  f (x,y) seperti bidag datar, maka ε(h) –› 0. Maka persamaan di atas menjadi
fpoh
Jika p=p0+h, maka h=p-p0

Contoh 1 :
Tunjukkan bahwa fungsi berikut dapat diturunkan di manapun (sembarang xy), dan buat persamaan bidang tangennya di titik (2,0)
exp 1 prob

Jawab :
Cari turunan parsialnya, diperoleh
exp 1 solv
Hasil ini menunjukkan bahwa fungsi tersebut kontinyu dan dapat diturunkan di mana-mana. Selanjutnya cari gradiennya di titik (2,0).
exp 1 solv1 grad
Selanjutnya buat persamaan bidanganya
exp 1 solv1 plane

Contoh 2 :
Dari persamaan ini tentukan gradien fungsinya di titik (1, 2, 0)
exp 2 prob

Jawab :
exp 2 solv

Beberapa sifat gradien mirip dengan turunan,
gradient properties

Jika banyak dari titik-titik dicari dan digambarkan gradien dari fungsinya, maka akan tergambar medan gradien (Gradient Field), seperti tampak pada gambar di bawah ini
gradient field

Latihan
latihan

Pertemuan Sebelumnya                                         Pertemuan Selanjutnya

 

 

36 Komentar

2 Trackbacks / Pingbacks

  1. Pertemuan 20 : Limit dan Kuntinuitas | the motorbike goes by skill or you get killed
  2. Pertemuan 22 : Turunan Berarah | the motorbike goes by skill or you get killed

Semoga tercerahkan dan komen mas bro juga ikut mencerahkan