Pertemuan 9 : Tranformasi Fourier (Deret Fourier)

Mei 2, 2020 motogokil kuliah, matematika teknik 2, Motorcycle 25

judul gambar

Deret Fourier (Fourier Series)

Adalah sekumpulan fungsi sinus dan kosinus dalam jumlah tak terhingga, yang bisa merepresentasikan (mewakili) sebuah fungsi periodik tertentu. Sebuah fungsi f(x) dikatakan periodik jika ia terdefinisi dalan seluruh bilangan rill x (kecuali mungkin di beberapa titik tertentu, contohnya y=tan (x)). Dan ada suatu bilangan positif p yang dikatakan sebagai periode jika

f (x+p) = f (x)

fig 258

Jika f(x) memiliki periode p, maka ia juga periodik dengan periode 2p, 3p, … np, sehingga

f (x+np) = f (x)

Beberapa fungsi yang sering dijumpai yang memiliki periode 2π, yang biasa disebut sistem trigonometri

fig 259

Dari fungsi–fungsi trigonometri di atas dapat dibentuk deret trigonometri

eq 04

Deret trigonometri ini akan menjadi deret fourier jika nilai a0, an dan bn diperoleh dengan menggunakan persamaan 6. Persamaan ini disebut formula euler

eq 05-06

Contoh 1 :
Tentuka koefisien fourie dari persamaan berikut
eq 07

fig 260

Jawab :
a0 =0, karena fungsi ganjil, maka bagian kiri sumbu-y dan bagian kananya saling meniadakan. Untuk an…

exp 1 solv

Untuk bn
exp 1 solv2

Dan diperolehlah deret fourier sebagai berikut (perhatikan koefisien dan subskripnya)

eq 08

Penjumlahan secara parsialnya dapat ditulis sebagai

partial sum

Jadi untuk funbsi di atas tahap-tahap penyelesaiannya dapat ditulis kembali

 

Dan penggambaran gambar setiap sinyal penjumlahan parsialnya

Penurunan Formula Euler

Pada persamaan 5 dan 6 diperoleh suatu aturan untuk koefisien a00, an dan bn agar deret trigonometri bisa menjadi deret fourier. Persamaan yang diberikan disebut formula euler yang diperoleh dari sifat keotogonalan sistem trigonometri yang disimpulkan dalam persamaan ini :

Pembuktian persamaan 9

Sifat ortogonal ini mempermudah mendapatkan formula euler dengan cara sebagai berikut, dimulai dari deret trigonometri sampai menuju deret fourier
Mencari a0

Mencari an
Sama dengan mencari ao, akan tetapi kalikan dulu dengan cos nx baru kemudian diintegralkan

Mencari bn

Konvergensi dan Penjumlahan Deret Fourier

Jadi dalam “sepotong” fungsi periodik yang kontinyu dalam interval -pi sampai pi, deret fourier-nya akan konvergen

Yang dimaksud dengan limit kiri dan kanan adalah

Pembuktian sifat konvergensi deret fourier, untuk fungsi yang kontinyu dan memiliki turunan ke-1 dan ke-2

Sedangkan untuk suatu titik dimana terjadi ketidak kontinyuan, maka nilai deretnya adalah rata-rata dari limit kiri dan limit kanan. Lihat kembali contoh soal contoh 1.

Pertemuan Sebelumnya                                           Pertemuan Selanjutnya

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23 Komentar

2 Trackbacks / Pingbacks

  1. Pertemuan 10 : Fungsi dengan Periode 2L | the motorbike goes by skill or you get killed
  2. UAS Matematika Teknik 2 | the motorbike goes by skill or you get killed

Semoga tercerahkan dan komen mas bro juga ikut mencerahkan