Pertemuan 13 : Garis dan Garis Tangen di Ruang-3

April 21, 2020 motogokil Motorcycle 103

garis dan garis tangen

Kurva paling sederhana adalah sebuah garis lurus. Sebuah garis ditentukan oleh sebuah titik tetap Pο dan vektor arah (directional vector) v =ai + bj + ck. Semua titik P yang mana dapt dibentuk vektor dari Pο ke P yang arahnya sejajar dengan v, dapat dituliskan sebagai

PoP

Jika

r dan r0

Sebagai vektor posisi dari P dan Pο, maka

P0P dan r dan r0

Jika ditulis

r dan r0 vektor

Maka akan didapatkan persamaan parametrik yang melalui titik Pο (xο, yο, zο) dan sejajar dengan vektor v 〈 a, b, c 〉 adalah

pers parametrik

Contoh 1
Tentukan persamaan parametrik garis yang melalui titik (3, -2, 4) dan titik (5, 6, -2).

gambar contoh 1

Jawab :
Untuk membentuk persamaan paramatrk diperlukan sebuah titik dan vektor yang paralel. Sedangkan pada contoh soal di atas tidak terdapat vektornya. Dengan menggunakan dua titik yang disediakan, maka dibentuk terlebih dahulu vektor yang paralel dengan garisnya

contoh 1 solv1
Titik (3, -2, 4) dipilih sebagai (xο, yο, zο), maka persamaan parametriknya

contoh 1 solv2
Saat t=0 menentukan titik (3, -2, 4) dan saat t=1 menentukan titik (5, 6, -2).

Jika persamaan parametrik dipecahkan variabel t nya dengan a, b, c bukan nol, maka diperolehlah persamaan simetri dari garis tersebut

persamaan simetri2

Dua persamaa yang dibentuk dari persamaan simetri di atas adalah persamaan bidang. Yang perpotongannya  adalah garis dengan persamaan parametrik yang bersesuaian dengannya (garis warna merah)

persamaan simetri3

persamaan simetri

Contoh 2 :
Buatlah persamaan simetri dari garis yang sejajar dengan vektor 〈 4, –3, 2 〉 dan melalui titik (2, 5, -1)

Jawab :
contoh 2 solv

Contoh 3 :
Carilah persamaan simetri dari perpotongan bidang-bidang ini
contoh 3 prob

Jawab :

Sebelumnya harus dicari minimal 2 titik yang dilalui garis yang merupakan perpotongan dari bidang-bidang di atas. Untuk mempermudah asumsikan garis tersebut menembus bidang x=0 dan bidang y=0.

contoh 3 solv

sehingga dengan meng-0-kan baik x maupun y-nya persamaan menjadi lebih sederhana karena hanya terdiri dari 2 variabel bebas, dan bisa dipecahkan dengan cara eliminasi.

Ketika x=0
contoh 3 solv2
Pemecahan dua persamaan ini secara simultan menghasilkan titik y=4 dan z=2, sehingga garis menembus bidang x=0 di titik (0, 4, 2). Dengan cara yang sama dapat dicari titik tembus lainnya di bidang y=0, yaitu (3, 0, 4).
Dengan menggunakan dua titik ini, dapat dibentuk vektor yang paralel dengan garis yang dicari.

contoh 3 solv3
Dengan menggunakan titik titik (3, 0, 4) dipilih sebagai (xο, yο, zο), maka diperoleh persamaan simetrinya

contoh 3 solv4

Jawaban Alternatif :

Bidang-bidang yang berpotongan, masing-masing memiliki vektor normal. Yang hasil kali silang (cross product) dari kedua vektor normal kedua bidang tersebut akan menghasilkan sebuah vektor yang sejajar dengan garis perpotongan dua bidang ini.

contoh 3 solv5
Vektor hasil kali silang w = 〈 21, –28, 14 〉 kemudian disederhanakan menjadi (1/7)w = 〈 3, -4, 2 〉. Dengan menggunakan titik titik (3, 0, 4) dipilih sebagai (xο, yο, zο), maka diperoleh persamaan simetrinya.
contoh 3 solv4

Contoh 4 :
Tentukan persamaan paramatrik dari garis yang melalui titik (1, -2, 3) dan tegak lurus terhadap sumbu-x dan juga tegak lurus terhadap garis yang memiliki persamaan simetri ini
contoh 4 prob

Jawab:
Vektor yang sejajar terhadap sumbu-x  adalah 〈 1, 0, 0 〉 dan vektor yang sejajar dengan garis dengan persamaan simetri di atas adalah 〈 2, -1, 5 〉. Sehingga vektor yang dari garis yang melewati titik (1, -2, 3) sejajar dengan hasil kali silang dua vektor di atas
contoh 4 solv
Diperoleh yaitu vektor 〈 0, -5, -1 〉 boleh juga ditulis 〈 0, 5, 1 〉. Sehingga persamaan parametriknya adalah
contoh 4 solv2

Garis Tangen pada Sebuah Kurva

garis tangen

Diketahui bahwa vektor posisi dari sebuah partikel yang melintasi kurva adalah
fungsi bernilai vektor dari posisi partikel

Maka garis tangen pada titik tersebut memiliki arah vektor
vektor tangen

Contoh 5 :
Tentukan persamaan parametrik dan persamaan simetri untuk garis tangen pada kurva yang ditentukan oleh persamaan berikut
contoh 5 prob
di titip P(2) = (2, 2, 8/3)

Jawab :
contoh 5 solv

Sesungguhnya vektor arah dari garis tangen adalah vektor normal dari sebuah bidang yang tegak lurus terhadap kurva tersebut di titik P.

bidang yg tegak lurus thd garis tangen

 

Contoh 6 :
Carilah persamaan bidang yang tegak lurus pada sebuah kurva dengan persamaan
contoh 6 prob

Jawab :
Perhatikan hubungan persamaan kuva dan titil P.  Yang termudah diperoleh hubungan t³=8, sehingga diperoleh bahwa titik P ditentukan saat t=2. Dan nilai t inilah yang nati akan digunakan untuk mencari vektor tangen. Persamaan vektor tangen diperoleh dengan menurunkan satu kali persamaan kurva, sehingga diperoleh :
contoh 6 solv
Dengan menggunakan titik P (2, 0, 8) diperoleh persamaan bidang yang tegak lurus terhadap kurva tersebut adalah :
contoh 6 solv2

Soal Latihan : Kerjakan soal latihan sub bab 11.6 nomer 4, 8, 10. 13 dan 20.
latihan

Pertemuan Sebelumnya                                                                         Pertemuan Selanjutnya
Jadwal Pertemuan

 

 

102 Komentar

1 Trackback / Pingback

  1. Pertemuan 14 : Kurvatur dan Komponen Akselerasi | the motorbike goes by skill or you get killed

Semoga tercerahkan dan komen mas bro juga ikut mencerahkan