Pendahuluan
Persamaan diferensial biasa (Ordinary Differential Eqquations-ODEs) adalah suatu proses yang diperoleh dari permasalahan fisik atau lainnya (pemodelan), menyelesaikannya dengan metode matematika standar, dan menafsirkan solusi dan grafiknya dalam hal masalah yang diberikan. ODE paling sederhana yang akan dibahas adalah ODE dari urutan pertama karena hanya melibatkan turunan pertama dari fungsi yang tidak diketahui dan tidak ada turunan yang lebih tinggi. Fungsi yang tidak diketahui ini biasanya akan dilambangkan dengan adanya variabel independen menunjukkan waktu t.
Konsep dasar. Pemodelan
Jika kita ingin menyelesaikan masalah teknik (biasanya bersifat fisik), kita terlebih dahulu harus merumuskan masalah sebagai ekspresi matematika dalam hal variabel, fungsi, dan persamaan. Ungkapan seperti itu dikenal sebagai model matematika yang diberikan dari masalah tersebut. Proses menyiapkan model, menyelesaikannya secara matematis, dan menafsirkan hasil secara fisik disebut pemodelan matematika atau secara singkat disebut pemodelan.
Pemodelan membutuhkan pengalaman, yang akan kita dapatkan dengan membahas berbagai contoh dan masalah. (Komputer mungkin sering kali bisa membantu menyelesaikan tetapi jarang ada yang mampu dalam hal menyiapkan model). Sekarang banyak konsep fisik, seperti kecepatan dan percepatan, dua pernyataan ini adalah hasil turunan. Karenanya sebuah model seringkali merupakan persamaan yang mengandung turunan dari fungsi yang tidak diketahui.
Seperti itulah sebuah model disebut persamaan diferensial. Tentu saja, kami kemudian ingin menemukan solusi, yaitu diperolehnya sebuah fungsi yang memenuhi persamaan, mengetahui deskripsi propertinya, gambarkan, temukan nilai, dan menafsirkannya dalam istilah fisik sehingga kita dapat memahami perilaku sistem fisik tersebut. Berikut ini beberapa aplikasi persamaan difeensial dalam memodelkan permasalahan fisik.
ODE adalah persamaan yang berisi satu atau beberapa turunan dari fungsi yang tidak diketahui (seringkali merupakan fungsi dengan variabel bebasnya adalah waktu t). Persamaan ini juga bisa berisi fungsi y itu sendiri, yang diketahui
dari x (atau t), dan konstanta. Sebagai contoh
Dalam kalkulus y’=dy/dx dan y”=d2y/dx2. Istilah “ordinary” membedakan persamaan ini dari partial differential equations (PDE), yang melibatkan turunan parsial dari fungsi dua yang tidak diketahui atau lebih banyak variabel. Misalnya, PDE dengan fungsi u yang tidak diketahui dari dua variabel x dan y adalah :
PDE memiliki aplikasi teknik yang penting, tetapi lebih rumit daripada ODE.