Pertemuan 02 : Pendahuluan Irisan Krucut, Parabola

Assalamu’alaikum wR wB dan salam sejahtera

Suatu bentuk krucut, jika dipotong oleh bidang datar maka perpotongannya akan membentuk kurva-kurva yang disebut konik. Bentu kurva-kurva tersebut tergantung bagaimana memotongnya, lihat gambar di bawah ini.

Kurva yang dihasilkan adalah :

1. Elips
2. Parabola dan
3. Hiperbola

Ketiga kurva tersebut memiliki ciri-ciri yang sama yaitu memiliki gari tetap ” L ” yang disebut direktrik, titik tetap  “F” yang disebut fokus dan titik-titik P yang terletak pada kurva konik tersebut. Jarak PF dan PL membentuk suatu formula yang bersifat umum, yaitu

Yang mana “e” (eksentrisitas) adalah rasio (+) pembandingnya. Masing-masing kurva konik memiliki besar e tertentu,:

1. Elips, memiliki e dengan nilai  0 < e < 1
2. Parabola, e = 1
3. Hiperbola, e > 1

Parabola

Bagaimana mendapatkan persamaan parabola ? Perhatikan gambar berikut

 

Pada parabola nilai e =1, maka |PF| = |PL|.

Kemudian perhatikan titik L, P dan F dan tentukan jarak (panjang garis) PF dan PL.

Dan untuk parabola dengan sumbu dan letak puncak yang berbeda akan menghasilkan persamaan yang berbeda pula

Contoh Soal 1 : Tentukan fokus dan direktrik dari persamaan y²=12x

Penyelesaian : Perhatikan bentuk persamaannya, tentukan bentuk dan gambar yang sesuai, yang sesuai adalah

y² = 4px  sehingga 4p = 12 dan p = 12/4 = 3

Gambar yang sesuai, parabola terbuka ke samping kanan, sehingga titik fokusnya adalah F(3,0) dan direktriknya adalah L=> x = -3

Coba selesaikan dengan langkah yang lengkap contoh-contoh lainnya

Contoh soal 2 : Tentukan fokus dan direktrik dari persamaan x²= – y !

Contoh soal 3 : Carilah persamaan parabola yang puncaknya di (0,0) dan fokusnya di (0,5) !

Contoh soal 4 : Carilah persamaan parabola yang puncaknya di (0,0) yang melalui titik (-2,4) dan terbuka ke kiri !

Sifat Optis Parabola

Sifat optis parabola adalah :

1. Jika ada sinar dari arah depan yang sejajar dengan sumbu, maka akan dipantulkan ke titik fokus
2. Sebaliknya jika fokus menghasilkan cahaya, maka sinar akan dipantulkan ke depan sejajar dengan sumbu.

Penjelasan matematis :

Jika sinar jatuh pada titik P, maka sinar akan dipantulkan ke fokus oleh bidang pantul yang merupakan garis singgung parabola, secara otomatis pula bahwa sudut α = β. Jika persamaan parabola adalah

y² = 4px, maka turunannya di titik P adalah
2y’y = 4p , sehingga kemiringan garis singgunnya adalah
y’ = 4p/2y = 2p/y , maka kemiringan garis singgung di P(xo, yo) adalah
y’ = 2p/y0 , dan persamaan garis singgungnya adalah
y – y0 = y’ (x – x0)
=> y – y0 = (2p/y0) (x -x0)

Saat garis singgung memotong sumbu-x (y = 0) maka persamaannya menjadi
-y0 = (2p/y0)(x – x0)
=> (x – x0) = – y0²/2p ,

karena sesuai dengan persamaan parabolanya y0² = 4px0, maka
=> (x – x0) = – ( 4px0)/2p
=> (x – x0) = -2×0
=> x = -x0, jadi koordinat titik Q adalah (-xo, 0)

Agar sifat optis terpenuhi maka sudut α = β, dan segitiga FQP harus merupakan segitiga sama kaki, sehingg panjang kaki segitiga FQ = FP

 

Materi Sebelumnya                                                                         Materi Selanjutnya