Pertemuan 14 : Kurvatur dan Komponen Akselerasi

April 24, 2020 motogokil kuliah, matematika 2, Materi Kuliah, Tulisan Ringan 70

Kurvatur

Kurvatur adalah sebuah paramater yang nilainya menggambarkan seberapa tajam sebuah tikungan/bengkokan dirasakan pada sebuah titik di suatu kurva tertentu.

Gambar di atas dapat membantu mempermudah memahami konsep kurvatur. Sebuah lintasan yang lurus memiliki kurvatur = 0 (nol). Semakin melengkung (dengan panjang kurva yang sama) semakin besar nilai parameter kurvaturnya. Dan besarnya kurvatue sebuah lingkaran berbanding terbalik dengan panjang jari-jari (radius)-nya. Semakin kecil radiusnya semakin besar nilai kurvaturnya.

Mancari Nilai Kurvatur

Diasumsikan sebuah partikel bergerak dalam sebuah lintasan berbentuk kurva, dengan persamaan vektor posisinya


Jika diasumsikan turunan pertama r’(t) tidak nol, dan r’(t) adalah vektor tangen, maka vektor tangen unitnya dapat dinyatakan dalam gambar dan persamaan berikut

Jika partikel bergerak di lintasan yang berbentuk kurva, maka akan terjadi perubahan arah vektor tangen seiring dengan waktu. Yang dengan mudah dapat digambarkan selisih vektor tangen-nya.

perubahan arah vektor tangen yang kecil

Perubahan arah vektor tangen yang besar

Sedangkan kurvatur dinyatakan sebagai besarnya perubahan vektor tangen terhadap perubahan jarak (yang ditempuh dalam selang waktu Δt), yang dinyatakan dalam persamaan ini.

Jika diketahui bahwa kelajuan adalah perubahan jarak per waktu

Dengan menggunakan teori invers fungsi diperoleh

Dengan bantuan persamaan ini dapat dibangun persamaan kurvaturnya

Contoh 1 :
Tunjukkan bahwa kurvatur sebuah garis lurus sama dengan nol

Jawab :
Persamaan parametrik garis adalah

Maka kurvaturnya dapat diperoleh

||T ‘(t)|| = 0 karena T konstan, tidak mengandung t

Contoh 2 :
Tentukan kurvatur sebuah lingkaran dengan radius = a

Jawab :
Asumsikan lingkaran berada di bidang-xy dengan persamaan vektor posisi

Contoh 3 :
Tentukan kurvatur dari helix berikut

Jawab :

Contoh 1, 2 dan 3 menunukkan bahwa kurvatur dari garis, lingkaran dan heliks adalah konstanta. Dari kasus kurvatur heliks ini bisa diambil dua contoh ekstrim, yaitu ketika c=0 dan ketika c = ∼.

Radius dan Linkaran dari Kurvatur Kurva Bidang Datar

Misalnya ada sebuah kurva di bidang-xy (bidang datar), maka pada suatu titik tertentu dari kurva tersebut bisa dicari kurvaturnya (tidak sama dengan nol), jarijari (radius) dan linkaran kuravaturnya

Contoh 4 :
Carilah kurvatur dan radius kurvatur dari kurva yang lintasannya ditentukan oleh vektor posisi, pada titik (0,0) dan (2,1).

Jawab :

Radius dan gambar lingkarannya

Persamaan Kurvatur sebagai fungsi sudut

Misalkan sudut Φ diukur dari i ke T (CCW)

Persamaan Kurvatur Sebagai Fungsi xy

Jika y = g(x) maka x’ = 1 dan x” = 0, sehingga persamaannya menjadi

Contoh 5 :
Tentuka kurvatur elips dengan persamaan

Pada saat t dan posisi di titik yang bersesuaian

Jawab :

Contoh 6 :
Tentukan kurvatur dari kurva

Jawab :

Komponen Akselerasi

Vektor akselerasi dibentuk dari vektor tangensial dan normal

Dan vektor norma dibentuk dari turunan vektor tangensial

Koefisien untuk vektor normal dan tangensialnya dapat dicari dengan cara berikut

Ada beberapa kondisi khusus yaitu

  1. Bergerak lurus dengan semakin cepat
  2. Berputar dengan semakin cepat

Beberapa hal bisa dicari dengan mudah jika dengan cara berikut

bentuk vektor dari komponen akselerasi

Persamaan vektor akselerasi dapat dituliska hanya dalam bentuk vektor posisi r(t). Berikut langkah-langkahnya
Koefisien akselerasi tangensial sebagai fungsi r(t)

Koefisien akselerasi normal sebagai fungsi r(t)

Kemudian dari persamaan di atas dapat diturunkan persamaan kurvatur sebagai fungsi r(t)

vektor binormal

Vektor yang tegak lurus terhadap vektor tangensial jumlahnya tak terhingga. Jika diambil satu saja sebagai vektor normalnya N = T’ / |T’|, maka vektor ini disebut vektor normal pricipal. Dan cross product dari vektor N dan T menghsilkan vektor binormal B.

Contoh 7 :
Tentukan vektor T, N dan B serta komponen tangensial dan normal dari akselerasi dari kurva pergerakan melingkar unform.

Jawab :

Latihan : Kerjakan nomor soal latihan berikut

Pertemuan Sebelumnya                                            Pertemuan Selanjutnya

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

69 Komentar

1 Trackback / Pingback

  1. Pertemuan 15 : Permukaan dalam Ruang-3 | the motorbike goes by skill or you get killed

Semoga tercerahkan dan komen mas bro juga ikut mencerahkan